Ein Differenzverfahren zur Behandlung der Navier-Stokes-Gleichungen im inkompressiblen, zylindersymmetrischen Fall

Schlüsener, H.; Vysa, K.; Gerlach, H.

Book/Report

FZJ-2018-00634

Ein Differenzverfahren zur Behandlung der Navier-Stokes-Gleichungen im inkompressiblen, zylindersymmetrischen Fall

Schlüsener, H. ; Gerlach, H.FZJ* ; Vysa, K.FZJ*

1976
Kernforschungsanlage Jülich, Verlag Jülich

Jülich : Kernforschungsanlage Jülich, Verlag, Berichte der Kernforschungsanlage Jülich 1267, 32 p. (1976)

Please use a persistent id in citations: http://hdl.handle.net/2128/16628

Report No.: Juel-1267

Abstract: Bei der Untersuchung der Strömungsverhältnisse im menschlichen Herzen ist es von großem Interesse, unter der Annahme, daß die Bewegungen des Blutes durchdie Navier-Stokes-Gleichungen zuverlässig beschrieben werden, eine Lösung dieses nichtlinearen partiellen Differentialgleichungssystems zu vorgegebenenAnfangs- und Randbedingungen bestimmen zu können. In erster Näherung wird für die Approximation der Strömung des Blutes im Vorhof des Herzens ein vereinfachtes rotationssymmetrisches Modell gewählt. Und zwar ist in diesem Modell der Vorhof durch ein erweitertes Rohr simuliert, wie es in Abb. 1 angegeben ist. Wegen der Zylindersymmetrie des Problems haben wir die Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten r, $\varphi$, z gewählt. Für den instationären Fall lauten diese Gleichungen (vgl. etwa [4]):$\frac{\partial v_{r}}{\partial t}$ + v$_{r}$ $\frac{\partial v_{r}}{\partial r}$ + V$_{z}$ $\frac{\partial v_{r}}{\partial z}$ = - $\frac{1}{p}$ $\frac{\partial p}{\partial r}$ + $\nu$ ($\frac{\partial^{2}v_{r}}{\partial r^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial v_{r}}{\partial r} + \frac{\partial^{2} v_{r}}{\partial z^{2}} - \frac{v_{r}}{r^{2}}$) (1.1) $\frac{\partial v_{z}}{\partial t} + v_{r} \frac{\partial v_{z}}{\partial r} + v_{z} \frac{\partial v_{z}}{\partial z} = - \frac{1}{p} \frac{\partial p}{\partial z} + \nu (\frac{\partial^{2} v_{z}}{\partial r^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial v_{z}}{\partial r} + \frac{\partial^{2} v_{z}}{\partial z^{2}})$ (1.2) Dabei sind v$_{r}$, v$_{z}$ die Geschwindigkeitskomponenten in r- und z-Richtung, p der Druck, t die Zeit und $\rho$ bzw. $\nu$ Dichte bzw. kinematische Viskosität der Flüssigkeit, die als konstant angenommen werden. Die dritte Gleichung, der die Funktionen v$_{r}$ (r,z.t), v$_{z}$ (r,z,t), p(r,z,t), von denen wir voraussetzen, daß sie mindestens dreimal stetig differenzierbar sind, genügen sollen, ist durch die Kontinuitätsgleichung gegeben: $\frac{\partial v_{r}}{\partial r} + \frac{\partial v_{z}}{\partial_{z}} + \frac{v_{r}}{r} = 0$ (1.3) Gesucht ist eine Lösung des Systems (1.1) bis (1.3) im Inneren des Gebietes, das durch die Abbildung 1 bestimmt ist. Die Zeichnung $\underline{Abb.1}$ [...] stellt eine Parallelprojektion des räumlichen Gebildes dar, in dem das Strömungsverhalten untersucht werden soll. Es sind B'C'CD, D'E'ED, F'G'GF Grundrisse von Kreiszylindern und C'D'DC, E'F'FE Projektionen von Kegelstümpfen. Der Rand, der als unbeweglich angenommen wird, gliedert sich in den oberen (B bis G) und unteren (B' bis G') sowie die Einfluß- und Ausflußöffnung (BB' und GG'). Es wird vorausgesetzt, daß über den unteren und oberen Rand weder Flüssigkeit in das Gebiet ein- noch austritt, d.h. es ist dort v$_{r}$ = 0 und v$_{z}$ = 0. Für die Eintritts- und Ausflußöffnung wird unterstellt, daß das Hagen-Poisseuille-Gesetz für Rohrströmung gilt, d.h., es ist auf BB' bzw. GG' v$_{r}$ = 0 und (vgl. [4]) $v_{z}$ = - $\frac{R^{2}}{4 \mu} \frac{dp}{dz}$ (1 - $\frac{r^{2}}{R^{2}})$ (1.4) zu setzen. Dabei bedeuten $\mu$ = $\nu \cdot \rho$ die dynamische Viskosität und dp/dz die konstante Druckableitung, während R den Radius der Grundfläche des linken oder rechten Abschlußzylinders darstellt. Da die Randwerte für v$_{r}$ und v$_{z}$ von der Zeit t unabhängig sind, handelt es sich um ein stationäres Integrationsproblem. Zu seiner Lösung ist in der vorliegenden Arbeit ein Differenzverfahren angegeben.

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